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Niveau(x) scolaire(s)
Fiche activité (ou fiche de travail)

Exercice : Calculs de surfaces (aires)

L’objectif de cet exercice est de calculer et comparer des surfaces (au sol, ou habitables) en lien avec le programme de mathématiques (niveau 4°, et donc le professeur de mathématiques de la classe).

Problématique

On sait par notre recherche d’informations que les maisons tournante ne dépassent pas 12 mètres de diamètre, qu’elles ne sont pas parfaitement rondes (formes hexagonale, octogonales ou avec plus de côtés encore). Quand on conçoit une maison ou quand on habite une maison, il est important de connaître la surface habitable, voir même la surface au sol.

Il est assez facile pour des élèves de 4° de calculer les surfaces de formes rectangulaire ou circulaire. Mais en sera-t’il de même pour les surfaces de polygones, et plus précisément d’un hexagone ou d’un octogone, deux formes possibles pour réaliser notre maquette de maison tournante ?

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Dimensions réelles de la maison tournante (distances entre deux sommets opposés)

Activité

Travail en équipe : Vous répondrez aux questions directement sur des documents séparés (communs à toute l’équipe) en indiquant le nom de l’équipe, la classe, et les noms des élèves présents sur toutes les faces écrites de vos travaux. Vous devez indiquer vos différents calculs.

Question 1 :

Quelle est la surface d’un disque de diamètre 12 mètres (diamètre maximum utilisé pour les maisons tournantes) ?

Question 2a :

Quelle est la surface d’un hexagone de diamètre 12 mètres (une des formes conseillées pour la maquette d’une maison tournante) ?

Question 2b :

Quel est la longueur d’un côté de l’hexagone ?

Question 3a :

Quelle est la surface d’un octogone de diamètre 12 mètres (une des formes conseillées pour la maquette d’une maison tournante) ?

Question 3b :

Quel est la longueur d’un côté de l’octogone ?

Question 4 :

Classez les trois formes étudiées précédemment en fonction de leurs surfaces.

Question 5 :

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Comparez vos résultats avec les surfaces indiquées par google Sketchup pour les formes étudiées (télécharger le fichier sur le site technologie.lesgarrigues.net).

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Aire d’un disque

Calcul de l'aire d'un disque

L’aire d’un disque est égale à son rayon au carré multiplié par π ;
- π = environ 3.14, ou plus précisément 3.14159 ou encore pour être plus précis, vous pouvez utiliser votre calculatrice.
- Ne confondez pas le rayon avec le diamètre !
- vous pouvez effectuer ce calcul en ligne, il existe de nombreux sites qui proposent ce service gratuitement.

Aire d’un hexagone

Calcul de l'aire d'un hexagone

Cela se complique un peu, le calcul n’est pas aisé pour un élève de 4° :
- certains n’ont pas encore vu le théorème de Pythagore (programme de mathématique en 4°)
- tous ne maîtrisent pas la racine carrée (qui est au programme de mathématiques en 3°)

J’ai bien essayé avec une classe de les laisser complétement dans la démarche d’investigation, mais cela nous fait perdre un temps précieux (je laisse le soin aux professeurs de mathématiques le soin de leur expliquer en détail les calculs …)

Je donne ici quelques pistes avant de donner la solution à notre problème.

Pistes de travail

- Un hegagone est constitué de 6 triangles équilatéraux. Si nous arrivons à calculer l’aire d’un triangle, nous pourrons connaître l’aire de l’hexagone.
- un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux.

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- L’aire d’un triangle se calcul ainsi :

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ABC est un triangle équilatéral et DEF est un triangle quelconque.
[BC] et [EF] sont les bases respectives des deux triangles.
[AH] et [AH’] sont les hauteurs des deux triangles

L’aire des triangles se calcul ainsi : ( base x hauteur ) / 2

Malheureusement pour nous, nous ne connaissons pas la hauteur h=[AH]. Il faut donc utiliser le théorème de Pythagore pour connaître cette longueur. Le théorème de Pythagore est au programme du cours de mathématiques niveau 4° (Cela peut aider !).

Le théorème de pythagore nous donne : AB2 = AH2 + HB2

Nous connaissons AB = 6 et HB = 3. Nous pouvons donc retrouver la valeur de la hauteur AH avec la formule inversé du théorème de pythagore :
- AH2 = AB2 - HB2
- AH = √(AB2 - HB2) = √(62 - 32) = √(36-9) = √(27)

Malheureusement- pour nous, la racine carrée est au programme de mathématiques niveau 3° (Là, cela coince un peu pour notre activité en technologie niveau 4°). Je vais donc en rester là et proposer une autre solution pour trouver l’aire du triangle équilatéral.

Calculer simplement l'aire d'un triangle équilatéral

Voici un lien qui vous donne la formule et vous permet d’obtenir l’aire d’un triangle équilatéral dont vous connaissez la valeur d’un côté.

Calculer l'aire d'un hexagone régulier

Vous devriez connaître maintenant l’aire d’un des 6 triangles équilatéraux de l’hexagone. Trouvez l’aire de l’hexagone ne devrez pas vous poser de problème particulier, en 4°.

Aire d’un octogone

Calcul de l'aire d'un octogone

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Cela se complique encore. Nous savons :
- un octogone a 8 côtés
- un octogone régulier est constitué de 8 triangles isocèles identiques dont nous connaissons la longueur des deux côtés égaux.

Nous ne connaissons pas :
- la hauteur du triangle isocèle. En passant par la même démonstration présentée pour l’hexagone régulier, en utilisant le théorème de pythagore et la racine carrée, on finirait par retrouver l’aire d’un des 8 triangles isocèles qui constituent l’octogone régulier. Mais nous allons encore une fois nous épargner cette tâche …

Calculer simplement l'aire d'un octogone régulier

Voici un lien qui ne vous donne pas la formule mais vous permet d’obtenir l’aire d’un octogone régulier en fonction des longueurs connues. Attention à choisir le bon calcul (observer bien les cercles. Connaissons-nous le rayon du cercle inscrit ou celle du cercle circonscrit ?

Calculer des aires avec Google Sketchup

Calculer des aires avec Google Sketchup

Comme nous sommes en cours de technologie (et que certains pensent à tort qu’il ne faut pas faire de mathématiques, il existe des solutions à notre problème de calcul de surface habitable.

Google sketchup permet de calculer n’importe quelle aire d’une forme fermée dessinée. Nous verrons qu’il faut accepter le fait que les calculs ne sont pas toujours exacts, du fait même que Google sketchup permet le calcul de n’importe quelle surface ! Le logiciel n’utilise pas les formules idéales et adaptées à chaque forme spécifique (pour calculer l’aire d’un disque, il n’utilise pas la formule PI x rayon2). Des erreurs apparaissent, ce qui permet de comprendre aussi pourquoi nous devons avoir quelques notions de mathématiques pour être conscient qu’un logiciel peut nous aider mais qu’il faut rester vigilant

Pour connaître l’aire d’une surface dans Google Sketchup, vous devez au préalable avoir affiché la fenêtre "Infos sur l’entité" accessible à partir du menu "fenêtre".

Vous sélectionnez la surface dont vous voulez connaître la valeur, le résultat est affiché dans la fenêtre "Infos sur l’entité".

Remarque : pour connaître les surfaces des trois formes étudiées, vous pouvez télécharger le fichier

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